StructuralMind
Ücretsiz deneyin

Kabuk elemanı, laminat ve ortotropik kesit

Güncellendi:

Bu sayfada

Sonuçlar.

ÖrnekReferansKayıtEn büyük sapma
İki yönlü CLT plağı, L/t = 40Yayımlanmış referans1%0.0759
İki yönlü CLT plağı, mesnetli kenarın ortasında enine kesme kuvvetiYayımlanmış referans1%0.0546
İki yönlü CLT plağı, tabaka gerilmelerinin elle kontrolüKapalı form2%0
Laminat girdisiyle verilen izotropik kalın plakYayımlanmış referans1%0.0574
Özel ortotropik basit mesnetli plakYayımlanmış referans1%0.0164
Simetrik olmayan laminat, eksenel çekmeYayımlanmış referans1< %0.001

Problem. Laminat ve ortotropik kabuklarda kesit rijitlik matrisleri doğrudan girdi olarak verilmektedir. İzotropik kabukta ise bu matrisler elastisite modülü, Poisson oranı ve kalınlıktan hesaplanmaktadır. Test edilen durumlar laminat girdisiyle verilen izotropik kalın plak, özel ortotropik plak, iki yönlü CLT plağı ve simetrik olmayan laminattır. CLT plağında çökmenin yanında mesnet yakınındaki enine kesme kuvveti de karşılaştırılmaktadır.

Referans belge. Özel ortotropik plakta Whitney'in Structural Analysis of Laminated Anisotropic Plates kitabındaki Navier serisi kullanılmaktadır. CLT plağında Reddy'nin Mechanics of Laminated Composite Plates kitabındaki birinci mertebe kayma deformasyonu çözümü kullanılmaktadır. Simetrik olmayan laminatın referansı klasik laminasyon teorisidir.

Özel ortotropik basit mesnetli plağın çökmesi Navier serisiyle hesaplanmaktadır.

w(x,y)=16 qπ6∑m∑nsin⁡mπ2 sin⁡nπ2m n[D11(ma)4+2(D12+2D66)(ma)2(nb)2+D22(nb)4]w(x,y) = \dfrac{16\,q}{\pi^6}\sum_m \sum_n \dfrac{\sin\frac{m\pi}{2}\,\sin\frac{n\pi}{2}}{m\,n\left[D_{11}\left(\frac{m}{a}\right)^4 + 2(D_{12}+2D_{66})\left(\frac{m}{a}\right)^2\left(\frac{n}{b}\right)^2 + D_{22}\left(\frac{n}{b}\right)^4\right]}

Klasik laminasyon teorisi, kesit kuvvetlerini ve momentlerini bu matrisle şekil değiştirme ve eğriliğe bağlamaktadır. BB matrisi membran ile eğilme arasındaki etkileşimi taşımakta ve simetrik olmayan dizilimde sıfırdan farklı olmaktadır.

[εκ]=[ABBTD]−1[NM]\begin{bmatrix}\varepsilon\\ \kappa\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}A & B\\ B^{\mathsf T} & D\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}N\\ M\end{bmatrix}

Sayısal model. Plakların dört kenarında düşey öteleme ile kenara dik eksen etrafındaki dönme tutulmaktadır. Simetrik olmayan laminat örneğinde şerit bir ucundan mesnetlidir. Mesnette dönme tutulmakta, diğer uç serbest bırakılmaktadır.

İki yönlü CLT plağı, L/t = 40

Parametreler. a = 4 · t = 0.1 · ağ = 24×24 · Ds₁₁/Ds₂₂ = 1.635

Yayımlanmış referans. Özel ortotropik laminat için birinci mertebe kayma deformasyonu teorisinin Navier serisi

BüyüklükReferansHesaplananSapma
Merkez çökmesi0.03605630.0360289%0.0759

Not. Kalan sapma ağın sıklığından gelmekte ve ağ sıklaştıkça azalmaktadır.

İki yönlü CLT plağı, mesnetli kenarın ortasında enine kesme kuvveti

Parametreler. a = 4 · ağ = 24×24 · x = 0.0833

Yayımlanmış referans. Birinci mertebe kayma deformasyonu teorisinin (Mindlin) Navier serisi

BüyüklükReferansHesaplananSapma
Enine kesme kuvveti QxQ_x-17.2608-17.2514%0.0546

Not. Enine kesme kuvveti, mesnetli kenarın ortasında mesnede bitişik elemanın merkezinde okunmaktadır (x=a/48x = a/48, y=a/2y = a/2). Referans değer de aynı noktada hesaplanmaktadır. Kesme kuvveti en büyük değerine mesnetli kenarın ortasında ulaşmaktadır ve bu değer yuvarlanma kayması (rolling shear) kontrolünün doğrudan girdisidir.

İki yönlü CLT plağı, tabaka gerilmelerinin elle kontrolü

Parametreler. eleman sayısı = 256 · q = 10

Kapalı form. Dönüştürülmüş kesitle el hesabı

σ=E0 z MxxD11,τr=Qx SD11\sigma = \dfrac{E_0\,z\,M_{xx}}{D_{11}},\qquad \tau_r = \dfrac{Q_x\,S}{D_{11}}
BüyüklükReferansHesaplananSapma
Dış lifte gerilme, 0° tabaka11,442.811,442.8%0
Yuvarlanma kayması gerilmesi, 90° tabaka205.343205.343%0

Not. Moment ve kesme kuvveti modelin en çok zorlanan elemanlarından okunmaktadır. Plak merkezine bitişik elemanda Mxx=15.23M_{xx} = 15.23 kNm/m, mesnetli kenarın ortasındaki elemanda Qx=16.81Q_x = 16.81 kN/m bulunmaktadır. Dizilimden eğilme rijitliği D11=765.4D_{11} = 765.4 kNm²/m, dış lif koordinatı z=0.05z = 0.05 m ve üst çapraz tabakanın iç yüzü için ağırlıklı statik moment S=E0t⋅0.04+E90t⋅0.02=9348S = E_0 t \cdot 0.04 + E_{90} t \cdot 0.02 = 9348 elde edilmektedir. Gerilmeler kPa cinsindendir. Poisson oranı sıfır olduğu için κx=Mxx/D11\kappa_x = M_{xx}/D_{11} tamdır ve el hesabı motorun sonucunu birebir vermektedir.

Laminat girdisiyle verilen izotropik kalın plak

Parametreler. t/a = 0.05 · ν = 0.2 · ağ = 24×24

Yayımlanmış referans. Birinci mertebe kayma deformasyonu teorisinin (Mindlin) Navier serisi

BüyüklükReferansHesaplananSapma
Merkez çökmesi0.000631050.000630688%0.0574

Not. Kesit matrisleri izotropik malzemeden kurulmakta ve doğrudan girdi olarak verilmektedir. Referans seri kullanılmadan önce iki durumda kontrol edilmektedir. Kayma rijitliği çok büyük alındığında Kirchhoff serisine dönmekte, izotropik kalın plakta ise Mindlin düzeltmesini (1.01133) vermektedir.

Özel ortotropik basit mesnetli plak

Parametreler. a = 5 · t = 0.05 · E₁/E₂ = 30 · ağ = 16×16

Yayımlanmış referans. Navier serisi, özel ortotropik plak (Whitney)

BüyüklükReferansHesaplananSapma
Merkez çökmesi0.6351050.635001%0.0164

Not. Kalan sapmanın bir kısmı ağın sıklığından, bir kısmı da referans çözümün kayma deformasyonunu içermemesinden gelmektedir.

Simetrik olmayan laminat, eksenel çekme

Parametreler. t₁ = 0.06 · t₂ = 0.04 · E₁/E₂ = 3

Yayımlanmış referans. Klasik laminasyon teorisine göre şekil değiştirme ve eğrilik, rijitlik matrisinin tersiyle hesaplanmaktadır.

[εκ]=[ABBD]−1[NM]\begin{bmatrix}\varepsilon\\ \kappa\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}A & B\\ B & D\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}N\\ M\end{bmatrix}
BüyüklükReferansHesaplananSapma
Serbest uçtaki düşey yer değiştirme-0.0618291-0.0618295< %0.001

Not. Alt tabaka daha kalın ve daha rijit olduğu için kesitin rijitlik merkezi orta düzlemin e=10.9e = 10.9 mm altında kalmaktadır. Orta düzlemde uygulanan çekme bu merkeze göre eksantriktir ve şeride M=N e=10.9M = N\,e = 10.9 kNm/m eğilme momenti getirmektedir. Şerit bu yüzden çekilirken aşağı doğru eğilmektedir. Membran-eğilme etkileşimi bu nedenle düşey yer değiştirmeyle ölçülmektedir. Simetrik bir laminatta bu değer sıfırdır. Kiriş benzetmesiyle yapılan elle kontrolde rijitlik merkezine göre EIc=1412EI_c = 1412 kNm²/m ve κ=M/EIc=7.73⋅10−3\kappa = M/EI_c = 7.73\cdot10^{-3} 1/m bulunmaktadır. Mesnette dönmesi tutulu konsolun ucunda düşey yer değiştirme w=κL2/2=0.0618w = \kappa L^2/2 = 0.0618 m olmaktadır. Poisson oranı sıfır alındığı için bu sonuç klasik laminasyon teorisiyle aynıdır.