Çubuk eleman, eşdeğer düğüm yükleri

Sonuçlar.

Örnek	Referans	Kayıt	En büyük sapma
Tam açıklık boyunca düzgün yayılı yük	Yayımlanmış referans	2	%0
Açıklık ortasında tekil yük	Yayımlanmış referans	1	%0
Açıklık ortasında olmayan tekil yük	Yayımlanmış referans	1	%0
Üçgen yayılı yük	Yayımlanmış referans	2	%0
Yamuk yayılı yük	Yayımlanmış referans	1	%0
Kısmi yayılı yük, i ucundan başlayan	Yayımlanmış referans	1	%0
Eleman üzerinde tekil moment	Yayımlanmış referans	1	%0

Problem. Eleman üzerindeki yük düğümlere eşdeğer uç kuvvetleri olarak aktarılmaktadır. Elemanın ürettiği uç kuvvetleri denklem takımı çözülmeden ankastre uç kuvvetleri tablosuyla karşılaştırılmaktadır.

Referans belge. AISC Steel Construction Manual Tablo 3-22b ve Hibbeler, Structural Analysis ankastrelik momentleri tablosu kullanılmaktadır.

Tam açıklık boyunca düzgün yayılı yükte eşdeğer uç kuvveti ve uç momenti bu değerleri almaktadır.

f_i = \dfrac{wL}{2},\qquad m_i = \dfrac{wL^2}{12}

Açıklık ortasındaki tekil yükte eşdeğer uç kuvveti ve uç momenti bu değerleri almaktadır.

f_i = \dfrac{P}{2},\qquad m_i = \dfrac{PL}{8}

Eşdeğer düğüm yükü, şekil fonksiyonlarının yük boyunca integralidir.

\mathbf{f}_e = \int_0^L \mathbf{N}(x)^{\mathsf{T}}\, w(x)\, \mathrm{d}x

Eşdeğer düğüm yükleri, i ucunun enine ötelemesine ve dönmesine ait Hermite şekil fonksiyonlarıyla hesaplanmaktadır.

N_2(\xi) = 1 - 3\xi^2 + 2\xi^3,\qquad N_3(\xi) = L\left(\xi - 2\xi^2 + \xi^3\right),\qquad \xi = x/L

Düzgün yayılı yükte uç kuvveti, yükün $N_2$ şekil fonksiyonuyla integre edilmesiyle bulunmaktadır.

f_i = \int_0^L N_2\, w\, \mathrm{d}x = wL \int_0^1 \left(1 - 3\xi^2 + 2\xi^3\right) \mathrm{d}\xi = wL\left(1 - 1 + \tfrac{1}{2}\right) = \dfrac{wL}{2}

Düzgün yayılı yükte uç momenti, yükün $N_3$ şekil fonksiyonuyla integre edilmesiyle bulunmaktadır.

m_i = \int_0^L N_3\, w\, \mathrm{d}x = wL^2 \int_0^1 \left(\xi - 2\xi^2 + \xi^3\right) \mathrm{d}\xi = wL^2\left(\tfrac{1}{2} - \tfrac{2}{3} + \tfrac{1}{4}\right) = \dfrac{wL^2}{12}

Tekil yükte şekil fonksiyonunun yük noktasındaki değeri alınmaktadır.

f_i = P\,N_2(\tfrac{1}{2}) = \dfrac{P}{2},\qquad m_i = P\,N_3(\tfrac{1}{2}) = \dfrac{PL}{8}

Üçgen yükte uç kuvveti aynı integralle, yük şiddeti $w\xi$ alınarak bulunmaktadır.

f_i = wL \int_0^1 \xi\left(1 - 3\xi^2 + 2\xi^3\right) \mathrm{d}\xi = wL\left(\tfrac{1}{2} - \tfrac{3}{4} + \tfrac{2}{5}\right) = \dfrac{3wL}{20}

Üçgen yükte uç momenti de aynı integralle bulunmaktadır.

m_i = wL^2 \int_0^1 \xi\left(\xi - 2\xi^2 + \xi^3\right) \mathrm{d}\xi = wL^2\left(\tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{5}\right) = \dfrac{wL^2}{30}

Yamuk yük, düzgün yayılı ve üçgen yükün toplamıdır.

m_i = \dfrac{w_1 L^2}{12} + \dfrac{(w_2 - w_1)L^2}{30} = \dfrac{L^2\left(3w_1 + 2w_2\right)}{60}

Kısmi yükte integralin üst sınırı $c/L$ olmaktadır.

m_i = wL^2 \int_0^{c/L} \left(\xi - 2\xi^2 + \xi^3\right) \mathrm{d}\xi = \dfrac{wc^2}{12L^2}\left(6L^2 - 8cL + 3c^2\right)

Tekil momentte şekil fonksiyonunun yük noktasındaki türevi alınmaktadır.

m_i = M\,N_3'\!\left(\dfrac{a}{L}\right), \qquad N_3'(\xi) = 1 - 4\xi + 3\xi^2

Sayısal model. Tek bir çubuk eleman kullanılmaktadır. Eşdeğer yük, şekil fonksiyonlarının yük boyunca integralidir ve doğrusal değişen yüklerde dört noktalı Gauss kuralıyla tam olarak alınmaktadır. Kesite kayma alanı verildiğinde kayma deformasyonu bu hesaba dahildir.

Tam açıklık boyunca düzgün yayılı yük

Parametreler. L = 6 · w = 12

Yayımlanmış referans. Ankastre uç kuvvetleri tablosu (AISC Steel Construction Manual, T.3-22b)

Büyüklük	Referans	Hesaplanan	Sapma
Uç kuvveti $f_i$	36	36	%0
Uç momenti $m_i$	36	36	%0